Дробный Келли в киберспорте: рост и ошибка вероятности
Дробный Келли начинается с вопроса, на который калькулятор не отвечает: насколько обоснована введённая вероятность? Формула переводит оценку в размер ставки, но не делает оценку точной. Замена игрока, выбор карты или новый патч могут снизить применимость исторических данных. Универсального диапазона ошибки для киберспортивной модели нет. Меньшая доля снижает воздействие ошибки на капитал, но не превращает неопределённое или отрицательное ожидание в надёжный доход. Прежде чем выбирать множитель, нужно понять происхождение самой вероятности.
Вывод ниже относится к бинарной ставке без возврата, комиссии, налога и изменения условий при приёме. Рассматривается одна отдельная позиция с известной вероятностью победы. Ожидаемый логарифмический рост описывает последовательное изменение капитала, а не только ожидаемую денежную прибыль. Например, выигрыш пятидесяти процентов с последующей потерей пятидесяти процентов оставляет три четверти исходной суммы. Логарифмическая цель отражает эту асимметрию. Она полезна как конкретный математический критерий, но не заменяет личные ограничения бюджета.
Строгая вогнутость делает стационарную точку единственным внутренним максимумом, если оба исхода имеют положительную вероятность. При отрицательной расчётной доле игрок, которому доступна только ставка на выбранный исход, использует ноль. Отрицательная ставка здесь не предполагается. Нулевой результат может быть самым полезным выводом калькулятора. Формула не требует находить ставку на каждый матч. Она также не определяет размер потери, который был бы приемлем для любого человека независимо от его финансового положения.
Отдельная бинарная модель
Обозначим b как коэффициент минус один, p как заданную истинную вероятность, q = 1 - p, f как долю капитала в ставке. Точный ожидаемый логарифмический рост и его производная:
Binary wager, no push, no fees; one isolated position
decimal odds O = b + 1; true probability p; q = 1 - p
bankroll fraction 0 <= f < 1
g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f)
g'(f) = p b / (1 + b f) - q / (1 - f)
g''(f) = -p b^2 / (1 + b f)^2 - q / (1 - f)^2 < 0
f_star = (b p - q) / b = (p O - 1) / (O - 1)
no short selling: use max(0, f_star)
Hypothetical exact probability p = 0.525, odds O = 2.00
EV per unit = p O - 1 = 0.050000
full fraction = 0.050000; half = 0.025000; quarter = 0.012500
g(full) = 0.001250521355
g(half) = 0.000937662817
g(quarter) = 0.000546901451
g(half)/g(full) = 0.749817517
g(quarter)/g(full) = 0.437338754Обратите внимание на структуру числителя. b·p − q: это ваша ожидаемая прибыль на единицу ставки, а знаменатель b масштабирует её с учётом выплаты. При коэффициенте 2.00 Келли сводится к правилу «ставь свой эдж»: эдж 5% означает ставку 5%. При меньших коэффициентах тот же эдж даёт большую ставку, потому что каждая победа платит меньше, и для сбора эджа нужна большая экспозиция. При больших коэффициентах тот же эдж даёт меньшую ставку, потому что распределение исходов более скошено.
Ошибка вероятности и приближения
Половина Келли означает половину доли, рассчитанной по той же входной вероятности. Четверть Келли означает четверть. Известное утверждение о сохранении семидесяти пяти процентов роста является приближением для малых ставок, а не тождеством точной логарифмической функции. В разложении Тейлора квадратичный коэффициент использует второй момент доходности на единицу. Подстановка дисперсии без дополнительного оговорённого приближения меняет расчёт. Ниже точная проверка отделена от квадратичной модели. Симметрия параболы не переносится автоматически на исходную функцию.
Пример ошибки намеренно задаёт две разные вероятности. Оценка приводит к ставке тринадцать процентов банка, тогда как условная истинная вероятность поддерживает только пять процентов при выбранном критерии. Расчёт роста для тринадцати процентов по истинной вероятности даёт отрицательное значение. Это показывает избыточную экспозицию в данном примере. Из него нельзя вывести частоту ошибки на четыре процентных пункта в реальных моделях, вероятность банкротства или величину максимальной просадки на дистанции пятисот ставок. Для таких выводов нужны отдельные исходные данные.
Экспонента ожидаемого логарифма капитала является геометрической характеристикой. Для медианы на конечном горизонте требуется распределение числа побед и соответствующих дискретных значений капитала. Вопросы о траектории требуют ещё больше условий: коснуться половины начального банка не значит закончить ниже половины, а максимальная просадка считается от текущего исторического пика. Симуляция этих событий здесь не приведена. Таблица точных процентов разорения без границы, горизонта и воспроизводимой модели создала бы видимость отсутствующих доказательств.
Second-order expansion about f = 0, return R in {b, -1}
mu = E[R] = p b - q
m2 = E[R^2] = p b^2 + q
g(f) approximately mu f - m2 f^2 / 2
quadratic optimum f_quad = mu / m2
quadratic growth ratio at c f_quad = 2 c - c^2
c = 0.50 -> 0.750000; c = 0.25 -> 0.437500
These are approximation ratios, not universal exact ratios.
Same hypothetical true p, mistaken estimate p_hat = 0.565
estimated full fraction = 0.130000
g(0.13; true p = 0.525) = -0.001985224803
500 g = -0.992612402
exp(500 g) = 0.370607250
This last number is exp(expected log wealth ratio), not an exact median.
Independent example O = 1.87, assumed p = 0.57, B = 10000
EV = 0.0659; full fraction = 0.0659 / 0.87
quarter stake = B * 0.25 * 0.0659 / 0.87 = 189.367816092
Round only the final stake to the platform's permitted increment.Экспозиция и журнал проверки
Выбирайте множитель как явное правило ограничения риска и записывайте, почему он соответствует неопределённости конкретной модели. Четверть Келли или потолок три процента не являются отраслевым сертификатом безопасности. При отрицательном истинном ожидании уменьшение суммы лишь уменьшает ожидаемую денежную потерю. Если вероятность нельзя обосновать, полезнее вести журнал прогнозов без ставок или пропустить рынок. Маленькое положительное число в поле суммы не устраняет недостаток информации и не подтверждает наличие преимущества.
Сравнение цен и удаление маржи решают разные задачи. Ожидание и долю Келли считайте по фактическому коэффициенту, который может быть принят. Рыночная вероятность после удаления маржи является сравнительной оценкой, а не установленной истиной. Разные методы дают разные оценки по одним котировкам. Положительный CLV также означает благоприятное сравнение с определённым ориентиром. Он не удостоверяет вероятность, использованную для исходной ставки, и не гарантирует будущую прибыль. Проверяйте, совпадают ли рынок, правила расчёта и момент фиксации цены.
До размещения проверьте совместную потерю открытых позиций. Победитель матча, фора и индивидуальный показатель игрока могут зависеть от одной серии. Сумма отдельных ставок Келли не является решением задачи портфеля. Рассмотрите возможные совместные исходы и проверьте свободные деньги, а не только общую оценку банка. Сумма, уже связанная другой ставкой, не становится второй доступной суммой. Не повышайте следующую экспозицию из-за предыдущего проигрыша или желания выполнить дневной план прибыли. Причина ставки должна относиться к её цене и вероятности.
Сохраняйте воспроизводимый расчёт: время, версию модели, оценку вероятности, принятый коэффициент, определение банка, долю, валюту и правило округления. Отдельно записывайте ограничение по политике риска. Тогда изменение прогноза можно отличить от изменения допустимой экспозиции. Локальный инструмент помогает с расчётом размера и ручным журналом, но статья не приписывает ему импорт CSV, симуляции Монте-Карло или определение истинной вероятности. Перед построением процесса проверьте реально доступные поля. Финальную сумму округляйте после расчёта, а не на каждом промежуточном шаге.
Проверяйте калибровку, сопоставляя прогнозы с результатами в сравнимых диапазонах вероятности. Указывайте размер выборки и зависимость между матчами. При разработке оставляйте последующий период для проверки и учитывайте патчи и составы вместо объединения несовместимых наблюдений. Фиксированное число ставок или положительный порог CLV не дают автоматического права увеличить множитель. Плановая проверка может закончиться выводом о недостатке данных и нулевой экспозиции. Это завершённое решение, а не ошибка калькулятора и не повод искать рынок с более привлекательной цифрой.
J. L. Kelly Jr. (1956), A New Interpretation of Information Rate
